El tensor de inercia

Mediante el uso del Álgebra geométrica es posible obtener una expresión compacta para el tensor de inercia, tanto en su interpretación convencional como una transformación lineal de vectores a vectores como la de una biforma, es decir una transformación de bivectores a bivectores.

Tiro Parabólico y Álgebra Geométrica

En mis tardes libres del invierno, las cuales pasamos en el pueblo limitado de muchos servicios,  me he dado a la tarea de leer un poco y he decidido presentar aquí algunas de las ideas que me parecen muy sencillas y rápidas de comentar. El problema de tiro parabólico es uno de los ejemplos mas utilizados para la enseñanza del movimiento de partículas en dos dimensiones. Por lo general esta relacionado con un medio que no opone resistencia al movimiento y en presencia de de un campo gravitatorio uniforme. En los siguientes renglones trataremos de resumir algunas ideas básicas de este problema con ayuda del álgebra geométrica.

Para esta ocasión iniciaremos trabajando sobre un proyectil de masa "m", el cual se encuentra bajo la acción de una fuerza uniforme y presenta las condiciones iniciales:
                         

Repasando un poco lo que sabemos de mecánica clásica, podemos hablar de la fuerza presente en este movimiento y la segunda ley de Newton, así como de la ecuación diferencial que se obtiene

Como el vector de fuerza es constante, podemos integral la ecuación y, teniendo en cuenta los valores iniciales; obtenemos las ecuaciones:

Podemos introducir lo que se conoce como el vector de desplazamiento, para reescribir la ecuación:

Quiero resaltar, que hasta el momento no hemos hablado sobre ninguna dirección, ni sistema de referencia, incluso he decidido dejar indicado el vector de Fuerza. Esto ultimo es con la intención de expresar las ideas sin hacer referencia alguna al tiro parabólico, por el momento.

Gracias a estas ecuaciones podemos determinar la posición (o el desplazamiento) y la velocidad de cualquier partícula que se encuentre bajo la acción de una fuerza uniforme, conociendo la magnitud y dirección de la fuerza, y sus condiciones iniciales.

A partir del siguiente párrafo, comenzaremos a utilizar las herramientas que nos proporciona el álgebra geométrica, por lo que le invito a pasar por un (introducción previa) resumen práctico de los conocimientos e ideas que se utilizarán. Link aquí

TIRO PARABÓLICO

Para hablar del tiro parabólico solo es necesario indicar que la fuerza por la que se ve afectada el cuerpo, es debido a la gravedad y está dada por:

Por lo que las ecuaciones para la posición y la velocidad quedan:

Estas ecuaciones nos bastan para describir el movimiento, pero con ayuda del álgebra geométrica podemos encontrar algunas propiedades.

Tiempo de vuelo
Podemos calcular el tiempo de vuelo haciendo que el vector de posición sea colineal a un vector que nos defina la posición de caída. Es decir, que:

Donde R es el vector de posición final del cuerpo, es decir, la posición donde caerá y T es el tiempo de vuelo. Desarrollando un poco:

Escribiendo los vectores con vectores de dirección unitarios, se obtiene

Despejando el tiempo obtenemos:

Distancia recorrida
Para calcular la distancia recorrida, basta con sustituir el tiempo de vuelo encontrado anteriormente en la expresión para la posición y recordando que es nuestro vector R, desarrollamos un poco:

Realizando el siguiente producto:

El primer término es cero, por lo que obtenemos

Finalmente encontramos que:

Aquí es necesario resaltar, que el vector R esta definido por el usuario, por lo que podemos utilizar estas herramientas para distintas condiciones de tiro, por ejemplo en un plano inclinado; por lo que podemos conocer tanto la distancia como el tiempo de vuelo simplemente con datos que nosotros definimos y la velocidad inicial.

Valores máximos
Si nosotros consideramos la distancia como función de la velocidad inicial, podemos calcular su valor máximo. Utilizando la identidad:

en la ecuación para la distancia recorrida, obtenemos que:

En esta ecuación podemos apreciar que lo único a variar es el factor:

el cual, por contener puros vectores unitarios, debe ser igual a 1 para maximizar. Esto ultimo es posible si:

o bien:

Esto significa que, cuando el ángulo entre R y la velocidad inicial sea igual al ángulo entre la misma velocidad y un vector opuesto a la gravedad, entonces la distancia será máxima.

Si analizamos la imagen podemos entender que la mejor expresión para la velocidad es:

Por lo que la expresión para la distancia recorrida se convertiría a una expresión para la distancia máxima que se ve, ya reducida, como:

Para el tiempo máximo de vuelo, reescribimos la expresión que teníamos como:

Ahora recordemos la expresión para la posición y realicemos el producto:

Para valores máximos se escribe:

Sustituyendo esta ecuación en la expresión para el tiempo se encuentra finalmente que:

o bien:

Para no hacer esto mas largo he decidido dejarlo hasta aquí. Con esto hemos visto algunas de las enormes posibilidades que nos permite trabajar el álgebra geométrica y, como mencionamos varias veces, sin hablar de un sistema de referencia en especifico.

Basado en el libro de álgebra geométrica del Dr. Arnulfo Castellanos Moreno y escrito por Joan Manuel Villa Hernández.

Problema de Kepler en el plano

A continuación un PDF en donde se aborda el problema de Kepler en el plano usando el álgebra geométrica G2. Autor: Heichi Horacio Yanajara Parra, Agradecimiento al profesor: Arnulfo Castellanos Moreno

Kepler

Teoría geométrica de funciones

A continuación hago una resumen de un trabajo de David Hestenes (A UNIFIED LANGUAGE FOR MATHEMATICS AND PHYSICS), en el cual trabaja con la Teoría Geométrica de funciones, por su servidor Edgar Dominguez Rosas