El tensor de inercia

Mediante el uso del Álgebra geométrica es posible obtener una expresión compacta para el tensor de inercia, tanto en su interpretación convencional como una transformación lineal de vectores a vectores como la de una biforma, es decir una transformación de bivectores a bivectores.

La expresión para el momento angular, en la Mecánica clásica, en términos de la masa m, el vector de posición r y la velocidad v es L = mr x v. A éste le corresponde un bivector dual

donde i es el pseudo-escalar unitario de G3. Para una partícula rotando con velocidad angular ω, la velocidad tangencial es v = ω x r. Dentro de un cuerpo rígido rotando alrededor de un eje, cada partícula que lo compone tiene la misma velocidad angular ω. 

El momento angular total de dicho cuerpo se obtiene sumando sobre todas las partículas

o bien, usando la identidad que relaciona el producto cruz con el producto cuña

queda

Tomando el límite del continuo, esta sumatoria se convierte en una integral de la forma

El momento angular también se obtiene del producto del tensor de inercia I con el vector de velocidad angular ω. Comparando con la expresión para el momento angular de una partícula, se observa que el tensor de inercia juega el papel de la masa para el movimiento rotacional de un cuerpo rígido. Este tensor se puede interpretar como una tranformación lineal de vectores a vectores, de modo que L = I(ω). Es decir, dado un vector A, el vector imagen B bajo la transformación viene dado por

Los elementos Ikl del tensor de inercia respecto a una base ortonormal {ek} se obtienen de la proyección del tensor con dichos vectores:

este tensor es simétrico e incluye los momentos de inercia respecto a la base ortonormal.

Para el caso de una varilla de longitud a con masa uniforme m, rotando con velocidad ω alrededor de un eje arbitrario que pasa por su centro, como se muestra en la figura

el tensor de inercia se obtiene de

donde n es el vector unitario a lo largo de la varilla. Escribiendo este resultado en término de productos geométricos, usando n Ʌ ω = (nω - ωn)/2, queda

Donde A es un vector dado. Esta expresión nos permite tener fácilmente una interpretación geométrica del tensor de inercia. El término A' = -nAn corresponde al vector A reflejado con respecto al plano normal a n. Si A es el vector de velocidad angular, se obtienen dos casos límite:

• Si ω es paralelo a n, entonces A' = A y entonces L = 0.
• Si ω es perpendicular a n, entonces A' = 0 y entonces L = (ma^2/24) ω.

Un caso más general es el de un cuerpo con simetría axial rotando alrededor de un eje ω.

En este caso el tensor de inercia es

donde {fj} son los vectores unitarios a lo largo de los ejes principales del cuepo y {Ik} son los eigenvalores del tensor de inercial en la base formada por dichos vectores. Dada la simetría del cuerpo, los momentos de inercial asociados con el plano if3 son iguales, es decir I1 = I2.

Escribiendo ω3 en términos del producto geométrico

y sustituyendo en la ecuación anterio, el tensor de inercia queda como

para un vector A arbitrario. Esta expresión es una generalización del caso más simple de una varilla delgada, expuesto anteriormente.

En todos los ejemplos anteriores estuvimos considerando al momento angular como un vector, definiendo las rotaciones alrededor de ejes representados con vectores. Para poder hacer la generalizacion a otras dimensiones, es necesario redefinir las rotaciones no con respecto a ejes, sino a planos definidos por bivectores. Para hacer esto, reemplazamos el vector ω con su bivector dual Ω=iω, que define un plano normal al eje de rotación.

Además, sabemos que el momento angular también puede ser representado por un bivector definido como

Para el caso de un cuerpo rígido, integramos sobre toda la distribución de masa

Usando la ecuación

podemos escribir el momento angular en términos del bivector Ω, en la forma

En este caso, el tensor de inercia puede ser reinterpretado como a una transformación de bivectores en bivectores, es decir una biforma. Dado un bivector B el tensor de inercia I lo mapea en un nuevo bivector C

de aquí, obtenemos una expresión muy parecida al caso vectorial, para el tensor de inercia de un cuerpo con simetría axial

Aunque ambas expresiones tienen la misma forma, son conceptualmente diferentes, pues esta última representa una biforma mientras que la anterior se refiere a un tensor de orden dos que transforma vectores en vectores.